Родился 30 июля 1951 года в городе Алма-Ата. Казах.
Отец – Днишев Муса, был основателем и главным редакто­ром журнала «Мәдениет және тұрмыс», заместителем ми­нистра культуры КазССР.
Окончил Алма-Атинское музыкальное училище им. П.И. Чайковского; Алма-Атинскую государственную консерваторию им. Курмангазы (1976), солист оперы, педагог.
С 1976 года – солист Казахской государственной филар­монии им. Джамбула. С 1978 года – солист оперы государственного академического театра оперы и балета им. Абая.
В 1997 году создал и возглавил Академию вокала Алибека Днишева.
В настоящее время ведет концертную деятельность.
Выступал с камерными программами в крупнейших залах Европы, принимал участие в спектаклях Большого театра (г. Москва).
В его репертуаре камерные циклы, народные песни и ро­мансы, партии в казахстанских операх («Дударай» Е. Брусиловского, «Песнь о целине» Е. Рахмадиева), русских ком­позиторов («Евгений Онегин» П.И. Чайковского, «Майская ночь» Н. Римского-Корсакова, «Князь Игорь» А.П. Бородина).
Депутат Верховного Совета КазССР 11-го созыва.
Народный артист Казахстана и СССР. Награжден орденом «Парасат» (1996); медалью. Лауреат Всесоюзного конкур­са вокалистов им. М. Глинки (1975). Обладатель 2-й премии и звания лауреата Международного конкурса им. Шумана (г. Цвиккау, Германия, 1977). Лауреат Международного конкурса вокалистов (г. Рио-де-Жанейро, 1979), премии Ленинского комсомола Казахстана (1979).